Juurilausekkeen sievennys

Juurilausekkeen sievennys – yhdistä neliöjuuret

Juurilausekkeen sievennyslaskuri laskee yhteen tai vähentää neliöjuuria ja antaa tuloksen yksinkertaisimmassa tarkassa muodossa a√b. Juuret käyttäytyvät yhteenlaskussa kuin samanmuotoiset termit: vain juuret, joilla on sama luku juuren alla, voidaan yhdistää.

Juurten yhteenlaskun sääntö

Neliöjuuria laskettaessa yhteen kerätään samanmuotoiset juuret yhteen aivan kuten muuttujatermit algebrassa. Juurrettava eli juuren alla oleva luku pysyy samana, ja vain kertoimet lasketaan yhteen:

c · √b + d · √b = (c + d) · √b

Esimerkiksi 2√3 + 5√3 = 7√3. Sen sijaan √2 + √3 ei sievene, koska juurrettavat 2 ja 3 ovat erilaiset – ne ovat kuin eri muuttujat.

Sievennä ensin, yhdistä sitten

Avain juurilausekkeen sieventämiseen on, että termit täytyy ensin sieventää erikseen. Vasta sieventämisen jälkeen näkee, ovatko juuret samanmuotoisia. Tämä on yleisin sudenkuoppa: lauseke voi näyttää siltä, ettei sitä voi yhdistää, vaikka se sievenee siistiin muotoon.

√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = (2 + 3)√2 = 5√2

Tässä √8 = 2√2 (koska 8 = 4 · 2) ja √18 = 3√2 (koska 18 = 9 · 2). Sieventämisen jälkeen molemmat ovat √2-muotoa, joten ne voidaan yhdistää.

Vaiheittainen esimerkki

Sievennetään 3√50 − 2√8:

Sievennä ensimmäinen termi: √50 = √(25 · 2) = 5√2, joten 3√50 = 3 · 5√2 = 15√2.
Sievennä toinen termi: √8 = √(4 · 2) = 2√2, joten 2√8 = 2 · 2√2 = 4√2.
Vähennä samanmuotoiset juuret: 15√2 − 4√2 = (15 − 4)√2 = 11√2.
Tulos: 3√50 − 2√8 = 11√2.

Tarkistus likiarvona: 11√2 ≈ 11 · 1,41421 = 15,556, ja myös 3√50 − 2√8 ≈ 15,556. ✓

Kun juuret eivät ole samanmuotoisia

Jos termeillä ei sieventämisen jälkeen ole samaa juurrettavaa, lauseketta ei voi yhdistää yhdeksi juureksi. Tällöin vastaus jätetään kahden termin muotoon:

√12 + √20 = 2√3 + 2√5 (ei sievenny yhdeksi termiksi)

Tämä on täysin kelvollinen lopputulos – kaikki juuret eivät yhdisty.

Juurten kertominen ja jakaminen

Toisin kuin yhteenlasku, juurten kertominen ja jakaminen onnistuu aina, koska luvut viedään saman juuren alle:

√a · √b = √(a · b) √a ÷ √b = √(a ÷ b)

Esimerkiksi √2 · √8 = √16 = 4 ja √18 ÷ √2 = √9 = 3. Tämä on hyvä muistaa, jotta ei sekoita yhteenlaskua kertolaskuun.

Juurilausekkeet koulussa

Juurilausekkeiden sieventäminen kuuluu yläkoulun ja erityisesti lukion pitkän matematiikan (MAA) opintoihin potenssi- ja juurilaskennan yhteydessä. Aihe vahvistaa ymmärrystä samanmuotoisista termeistä ja valmistaa monimutkaisempiin algebrallisiin lausekkeisiin. Tarkka juurimuoto on usein vaadittu vastausmuoto kokeissa, koska se ei sisällä pyöristysvirhettä.

Usein kysytyt kysymykset

Miten juurilauseke sievennetään?

Sievennä ensin jokainen juuri erikseen muotoon k√b erottamalla suurin neliötekijä. Tämän jälkeen yhdistä juuret, joilla on sama luku juuren alla (sama juurrettava), laskemalla niiden kertoimet yhteen. Esimerkiksi √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.

Milloin kahta juurta voi laskea yhteen?

Vain samanmuotoiset juuret voidaan yhdistää, eli juuret, joilla on sieventämisen jälkeen sama luku juuren alla. Esimerkiksi 2√3 + 5√3 = 7√3. Sen sijaan √2 + √3 ei sievene, koska juurrettavat ovat erilaiset.

Miksi juuret pitää sieventää ennen yhdistämistä?

Erimuotoiset juuret voivat sieventyä samanmuotoisiksi. Lauseke √8 + √18 näyttää yhdistämiskelvottomalta, mutta sieventämisen jälkeen molemmat ovat √2-muotoa: 2√2 + 3√2 = 5√2. Ilman sieventämistä yhdistämistä ei huomaa.

Voiko juuria kertoa keskenään?

Kyllä, ja se onnistuu eri tavalla kuin yhteenlasku. Juurten tulossa luvut kerrotaan juuren alla: √a · √b = √(a·b). Esimerkiksi √2 · √8 = √16 = 4. Tämä laskuri keskittyy yhteen- ja vähennyslaskuun, jossa juuret täytyy ensin sieventää.

Mitä tarkoittaa, että juuri on sievennetyssä muodossa?

Juuri on sievennetty, kun sen alla oleva luku ei sisällä enää neliötekijää eli on neliövapaa. Esimerkiksi √2, √3 ja √6 ovat valmiiksi sievennetyssä muodossa, kun taas √12 ei ole, koska 12 = 4 · 3 ja √12 = 2√3.

Ensimmäinen termi

Laskutoimitus

Toinen termi

Tulokset