Jakojäännöslaskuri (modulo)

Jakojäännöslaskuri – laske modulo a mod n

Jakojäännöslaskuri laskee jakolaskun jäännöksen eli modulon a mod n. Laskuri näyttää sekä kokonaislukuosamäärän että jakojäännöksen ja tarkistaa tuloksen yhtälöllä a = n · q + r.

Mikä jakojäännös on?

Kun luku a jaetaan kokonaisluvulla n, tulos ei aina ole tasaluku. Osamäärä q kertoo, kuinka monta kertaa jakaja menee jaettavaan, ja jakojäännös r on se osa, joka jää yli. Aina pätee perusyhtälö:

a = n · q + r,  missä  0 ≤ r < |n|

Esimerkiksi 17 mod 5: osamäärä on 3 ja jäännös 2, koska 17 = 5 · 3 + 2.

Mitä modulo tarkoittaa?

Modulo on jakojäännösoperaation nimi, ja merkintä a mod n tarkoittaa jakolaskun a ÷ n jäännöstä. Modulolaskenta on keskeinen sekä matematiikassa että ohjelmoinnissa. Yleisiä käyttöjä ovat:

• Parillisuus: luku on parillinen, jos luku mod 2 = 0, ja pariton muuten.
• Jaollisuus: a on jaollinen n:llä, jos a mod n = 0.
• Jaksollisuus: kellonajat, viikonpäivät ja kierrokset toistuvat modulolaskennan avulla.

Osamäärä ja jakojäännös

Kokonaislukujen jakolaskussa saadaan kaksi tulosta: osamäärä ja jäännös. Esimerkiksi 23 jaettuna 4:llä:

23 ÷ 4 → osamäärä 5, jäännös 3  (23 = 4 · 5 + 3)

Osamäärä saadaan jakamalla ja pyöristämällä alaspäin kokonaislukuun, ja jäännös on jäljelle jäävä osa.

Negatiiviset luvut

Negatiivisten lukujen kohdalla jäännös voidaan määritellä kahdella tavalla:

• Katkaiseva tapa (moni ohjelmointikieli): jäännös saa jaettavan etumerkin, esimerkiksi −17 mod 5 = −2.
• Matemaattinen tapa: jäännös on aina välillä 0…n−1, jolloin −17 mod 5 = 3, sillä −17 = 5 · (−4) + 3.

Laskuri näyttää molemmat, jotta tulosta voi käyttää sekä matematiikassa että ohjelmoinnissa.

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan 100 mod 7. Etsitään suurin 7:n monikerta, joka mahtuu lukuun 100: 7 · 14 = 98 ja 7 · 15 = 105 (liikaa). Osamäärä on siis 14. Jäännös on 100 − 98 = 2. Tarkistus: 7 · 14 + 2 = 98 + 2 = 100. ✓ Siis 100 mod 7 = 2.

Kongruenssi

Kaksi lukua on kongruentteja modulo n, jos niillä on sama jakojäännös. Tämä merkitään ≡-merkillä:

17 ≡ 32 (mod 5),  koska molempien jäännös on 2

Kongruensseja hyödynnetään esimerkiksi viikonpäivien laskennassa, tarkistusnumeroissa ja salausmatematiikassa.

Modulo koulussa

Jakojäännös tulee tutuksi jo alakoulun jakolaskuissa, kun jako ei mene tasan. Yläkoulussa ja lukiossa jaollisuus, alkuluvut ja jakojäännös ovat osa lukuteoriaa. Modulolaskenta on lisäksi ohjelmoinnin perustyökalu, jolla tarkistetaan jaksollisuutta ja jaollisuutta.