Massa ja nopeus
Syötä lepomassa ja nopeus. Laskuri laskee relativistisen liike-energian kaavalla Ek = (γ−1)·m·c². Nopeuden voi antaa osuutena valonnopeudesta tai metreinä sekunnissa.
Relativistisen liike-energian laskuri
Laske kappaleen relativistinen liike-energia suurilla nopeuksilla kaavalla Ek = (γ−1)mc² – sekä Lorentz-kerroin ja kokonaisenergia.
Tulokset
Relativistisen liike-energian laskuri – suurilla nopeuksilla
Relativistisen liike-energian laskurilla selvität kappaleen liike-energian, kun nopeus lähestyy valonnopeutta. Anna massa ja nopeus, niin laskuri laskee liike-energian, Lorentz-kertoimen, lepoenergian ja kokonaisenergian sekä näyttää klassisen kaavan tuloksen vertailuksi. Työkalu sopii lukion modernin fysiikan tehtäviin.
Liike-energian kaava
Relativistinen liike-energia on kokonaisenergian ja lepoenergian erotus.
Ek = (γ − 1) · m · c²
Tässä m on lepomassa, c valonnopeus (299 792 458 m/s) ja γ Lorentz-kerroin:
γ = 1 / √(1 − (v/c)²)
Esimerkki: 1 kg kappale nopeudella v = 0,9c. Tällöin γ = 1/√(1−0,81) = 1/√0,19 ≈ 2,294 ja Ek = (2,294−1)·1·c² ≈ 1,16·10¹⁷ J.
Lorentz-kerroin
Lorentz-kerroin γ kuvaa suhteellisuusteorian vaikutusten voimakkuutta. Levossa γ = 1, ja se kasvaa nopeuden myötä rajatta valonnopeutta lähestyttäessä:
- v = 0,1c → γ ≈ 1,005
- v = 0,5c → γ ≈ 1,155
- v = 0,9c → γ ≈ 2,294
- v = 0,99c → γ ≈ 7,089
Lepoenergia ja kokonaisenergia
Kappaleella on energiaa myös levossa, ja kokonaisenergia on lepo- ja liike-energian summa.
E₀ = m·c² E = γ·m·c² = E₀ + Ek
Esimerkin kappaleelle lepoenergia on E₀ = 1·c² ≈ 8,99·10¹⁶ J ja kokonaisenergia E = 2,294·c² ≈ 2,06·10¹⁷ J.
Vertailu klassiseen kaavaan
Pienillä nopeuksilla relativistinen kaava supistuu klassiseksi muodoksi ½mv². Suurilla nopeuksilla ero on suuri:
- Relativistinen (0,9c): Ek ≈ 1,16·10¹⁷ J.
- Klassinen ½mv² (0,9c): noin 3,64·10¹⁶ J.
Klassinen kaava aliarvioi liike-energian voimakkaasti, kun nopeus on lähellä valonnopeutta.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan protonin (m ≈ 1,673·10⁻²⁷ kg) liike-energia nopeudella 0,99c.
- Lorentz-kerroin: γ = 1/√(1−0,9801) ≈ 7,089.
- Lepoenergia: E₀ = 1,673·10⁻²⁷ · c² ≈ 1,504·10⁻¹⁰ J.
- Liike-energia: Ek = (7,089−1)·E₀ ≈ 9,16·10⁻¹⁰ J.
Liike-energia on yli kuusinkertainen lepoenergiaan nähden – tyypillistä hiukkaskiihdyttimissä.
Yksiköt
Massa annetaan kilogrammoina ja nopeus joko osuutena valonnopeudesta (esimerkiksi 0,9 tarkoittaa 0,9c) tai metreinä sekunnissa. Energiat ovat jouleina (J). Lorentz-kerroin γ on yksikötön. Nopeuden on oltava pienempi kuin valonnopeus, sillä γ ei ole määritelty arvolla v ≥ c.
Suhteellisuusteoria lukion fysiikassa
Relativistinen liike-energia kuuluu lukion fysiikan modernin fysiikan kurssiin (FY8), jossa käsitellään erityistä suhteellisuusteoriaa. Keskeinen tulos on, ettei massallista kappaletta voi kiihdyttää valonnopeuteen, koska liike-energia kasvaisi äärettömäksi. Yhtälö E = γmc² yhdistää massan ja energian ja on perustana ydin- ja hiukkasfysiikan energialaskuille.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on relativistinen liike-energia?
Relativistinen liike-energia on liike-energian tarkka muoto, joka pätee myös valonnopeutta lähestyttäessä. Se lasketaan kaavalla Ek = (γ−1)·m·c², jossa γ on Lorentz-kerroin. Pienillä nopeuksilla tämä supistuu klassiseksi kaavaksi ½mv², mutta suurilla nopeuksilla liike-energia kasvaa paljon nopeammin ja lähestyy ääretöntä, kun nopeus lähestyy valonnopeutta. Siksi massallista kappaletta ei voi kiihdyttää valonnopeuteen.
Mikä on Lorentz-kerroin γ?
Lorentz-kerroin γ = 1/√(1−(v/c)²) kuvaa, kuinka voimakkaasti suhteellisuusteorian ilmiöt – ajan venyminen, pituuden kontraktio ja energian kasvu – vaikuttavat. Levossa γ = 1, ja se kasvaa nopeuden myötä: nopeudella 0,9c se on noin 2,29 ja nopeudella 0,99c jo noin 7,09. Kun nopeus lähestyy valonnopeutta, γ kasvaa rajatta. Lorentz-kerroin on koko erityisen suhteellisuusteorian keskeinen suure.
Miten relativistinen ja klassinen liike-energia eroavat?
Klassinen kaava ½mv² antaa hyvän tuloksen, kun nopeus on pieni valonnopeuteen verrattuna (alle noin 10 % c:stä). Suuremmilla nopeuksilla se aliarvioi liike-energian, koska se ei ota huomioon massan tehollista kasvua. Esimerkiksi nopeudella 0,9c klassinen kaava antaa noin 3,6·10¹⁶ J, kun oikea relativistinen arvo on noin 1,16·10¹⁷ J – yli kolminkertainen. Tämä laskuri näyttää molemmat vertailua varten.
Mikä on lepoenergia ja kokonaisenergia?
Lepoenergia on kappaleen energia levossa, E₀ = m·c², joka seuraa Einsteinin kuuluisasta yhtälöstä. Kokonaisenergia on lepoenergian ja liike-energian summa, E = γ·m·c² = E₀ + Ek. Esimerkiksi 1 kg kappaleen lepoenergia on noin 9·10¹⁶ J – valtava määrä, joka vapautuisi, jos massa muuttuisi kokonaan energiaksi. Liike-energia on se osa kokonaisenergiasta, joka ylittää lepoenergian.
Milloin relativistista kaavaa tarvitaan?
Relativistista liike-energiaa tarvitaan, kun nopeus on merkittävä osuus valonnopeudesta: hiukkaskiihdyttimissä, kosmisessa säteilyssä, ydinfysiikassa ja hiukkasfysiikassa. Arkielämän nopeuksilla, kuten autoissa tai lentokoneissa, ero klassiseen kaavaan on häviävän pieni. Lukion fysiikassa aihe kuuluu modernin fysiikan kurssille, jossa käsitellään erityistä suhteellisuusteoriaa.
Oliko tästä laskurista apua?