Nauhojen sijaintilaskuri

Nauhojen sijaintilaskuri – kitaran nauhavälit

Nauhojen sijaintilaskurilla selvität, mihin kohtaan otelautaa kunkin nauhan tulee osua, jotta soitin soi vireessä. Anna kielen soiva pituus eli mensuura millimetreinä, niin laskuri laskee jokaisen nauhan etäisyyden satulasta sekä nauhavälin edelliseen nauhaan. Laskuri perustuu tasavireiseen 12-säveljärjestelmään ja sopii soitinrakennukseen sekä akustiikan ja matematiikan opetteluun.

Nauhavälin kaava

Tasavireisessä järjestelmässä oktaavi jaetaan kahteentoista yhtä suureen puolisävelaskeleeseen. Nauhan n etäisyys satulasta on:

d(n) = L · (1 − 2^(−n/12))

Tässä d(n) on etäisyys satulasta, L mensuura ja n nauhan järjestysnumero. Kerroin 2^(−1/12) ≈ 0,9439 kuvaa, kuinka paljon soiva pituus lyhenee jokaisella puolisävelaskeleella.

Nauhaväli edelliseen nauhaan

Peräkkäisten nauhojen väli saadaan vähentämällä:

Δd = d(n) − d(n−1)

Nauhavälit pienenevät tasaisesti otelaudan loppua kohti, koska sama suhteellinen lyhennys koskee aina jäljellä olevaa kielen pituutta. Siksi alimmat nauhat ovat selvästi leveämpiä kuin korkeat nauhat.

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan ensimmäisen ja toisen nauhan paikat mensuuralle L = 648 mm.

• Nauha 1: d(1) = 648 · (1 − 2^(−1/12)) = 648 · 0,05613 ≈ 36,4 mm.
• Nauha 2: d(2) = 648 · (1 − 2^(−2/12)) = 648 · 0,10910 ≈ 70,7 mm.
• Nauhaväli 1→2: 70,7 − 36,4 ≈ 34,3 mm.
• Nauha 12: d(12) = 648 · 0,5 = 324,0 mm (mensuuran puoliväli).

Tulokset osoittavat, että nauhavälit kapenevat: ensimmäinen väli (satulasta nauhaan 1) on 36,4 mm, mutta väli 1→2 on jo pienempi.

Tavallisia mensuuroja

• Sähkökitara: usein 648 mm tai 628 mm.
• Klassinen kitara: noin 650 mm.
• Sähköbasso: noin 864 mm (long scale).
• Ukulele (sopraano): noin 350 mm.

Yksiköt

Anna mensuura millimetreinä, niin myös nauhojen paikat tulevat millimetreinä. Sama kaava toimii millä tahansa pituusyksiköllä, kunhan käytät samaa yksikköä koko laskussa. Tarkkuus millimetrin kymmenesosan luokassa riittää soitinrakennukseen.

Yleisiä virheitä

• Mensuura väärin: mittaa soiva pituus satulasta talliin, ei koko soittimen pituutta.
• Etäisyyden viitepiste: kaava antaa etäisyyden satulasta, ei edellisestä nauhasta – nauhaväli on erikseen.
• Tallin kompensointi: käytännössä talli sijoitetaan hieman teoriaa pidemmälle kielen jäykkyyden takia; tämä laskuri laskee ideaaliset paikat.

Lukion fysiikan konteksti

Nauhojen sijainnit ovat kaunis esimerkki eksponentti- ja logaritmifunktioista käytännössä. Värähtelevän kielen taajuus on kääntäen verrannollinen sen pituuteen, ja musiikin tasavire jakaa oktaavin geometriseen sarjaan suhteella 2^(1/12). Aihe liittyy lukion fysiikan aaltoliikkeeseen ja seisoviin aaltoihin sekä matematiikan eksponenttifunktioihin – sama matematiikka selittää, miksi nauhavälit kapenevat tasaisesti otelaudan loppua kohti.