Keskuskappale ja rata
Valitse kierretty kappale tai syötä sen massa. Anna ratasäde keskipisteestä kilometreinä. Laskuri laskee kiertoajan kaavalla T = 2π√(r³/GM).
Kiertoajan laskuri
Laske satelliitin tai planeetan kiertoaika ympyräradalla keskuskappaleen massasta ja ratasäteestä – sekä ratanopeus.
Tulokset
Kiertoajan laskuri – ympyräradan jaksonaika
Kiertoajan laskurilla selvität, kuinka kauan satelliitilta, kuulta tai planeetalta kestää kiertää keskuskappaleensa ympyräradalla. Anna keskuskappaleen massa ja ratasäde, niin laskuri laskee kiertoajan ja ratanopeuden. Työkalu sopii lukion gravitaation ja taivaanmekaniikan tehtäviin.
Kiertoajan kaava
Ympyräradalla vetovoima toimii keskeisvoimana, mistä seuraa kiertoajan kaava:
T = 2π · √(r³ / (G · M))
Tässä T on kiertoaika, r ratasäde keskipisteestä, M keskuskappaleen massa ja G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²/kg² gravitaatiovakio. Kiertoaika kasvaa ratasäteen kasvaessa.
Esimerkki: Maata (M = 5,972·10²⁴ kg) kiertävä kappale 6771 km säteellä (matala rata): T = 2π·√((6,771·10⁶)³ / (6,674·10⁻¹¹ · 5,972·10²⁴)) ≈ 5546 s ≈ 92,4 min.
Ratanopeus
Ympyräradan nopeus saadaan vetovoiman ja keskeisvoiman tasapainosta:
v = √(G · M / r)
Esimerkin radalla v = √(6,674·10⁻¹¹ · 5,972·10²⁴ / 6,771·10⁶) ≈ 7672 m/s ≈ 7,67 km/s.
Ratasäde mitataan keskipisteestä
Säde r on aina etäisyys keskuskappaleen keskipisteestä, ei pinnasta. Maata kiertävälle satelliitille lisätään korkeuteen Maan säde (noin 6371 km). Esimerkiksi 400 km lentokorkeus tarkoittaa noin 6771 km ratasädettä.
Geostationaarinen rata
Kun kiertoaika on yhtä pitkä kuin Maan tähtivuorokausi (noin 86 164 s), satelliitti pysyy paikallaan taivaalla. Tämä toteutuu noin 42 164 km ratasäteellä eli noin 35 786 km korkeudella. Tällaisia ratoja käytetään sää- ja viestintäsatelliiteille.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan Kuun kiertoaika Maan ympäri, kun keskietäisyys on noin 384 400 km.
- Ratasäde: r = 3,844·10⁸ m.
- Kiertoaika: T = 2π·√((3,844·10⁸)³ / (6,674·10⁻¹¹ · 5,972·10²⁴)) ≈ 2,37·10⁶ s ≈ 27,4 vrk.
- Ratanopeus: v = √(G·M / r) ≈ 1018 m/s ≈ 1,02 km/s.
Tulos vastaa hyvin Kuun todellista noin 27,3 vuorokauden kiertoaikaa.
Yksiköt
Ratasäde annetaan kilometreinä ja keskuskappaleen massa kilogrammoina (esimerkiksi 5.972e24). Tulokset: kiertoaika esitetään sekunteina, minuutteina, tunteina tai vuorokausina suuruuden mukaan, ja ratanopeus metreinä sekunnissa sekä kilometreinä sekunnissa.
Gravitaatio lukion fysiikassa
Ympyräradat ja kiertoaika kuuluvat lukion fysiikan pyörimisliikkeen ja gravitaation kurssiin (FY6). Kaava johdetaan asettamalla Newtonin gravitaatiolaki F = G·M·m/r² yhtä suureksi keskeisvoiman F = m·v²/r kanssa. Tästä seuraa myös Keplerin kolmas laki T² ∝ r³, joka kuvaa planeettojen liikettä ja yleistyy kaikkiin painovoiman sitomiin ratoihin.
Usein kysytyt kysymykset
Miten kiertoaika lasketaan?
Ympyräradan kiertoaika lasketaan kaavalla T = 2π·√(r³ / (G·M)), jossa r on ratasäde keskuskappaleen keskipisteestä, M keskuskappaleen massa ja G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²/kg² gravitaatiovakio. Kiertoaika kasvaa ratasäteen kasvaessa: mitä kauempana kappale kiertää, sitä hitaammin se etenee ja sitä pidempi on kierroksen kesto. Kaava seuraa Newtonin gravitaatiolaista ja keskeisvoiman yhtälöstä.
Mikä on ratanopeus ympyräradalla?
Ympyräradan ratanopeus on v = √(G·M / r). Se on nopeus, jolla kappaleen on liikuttava pysyäkseen radalla, kun vetovoima toimii keskeisvoimana. Esimerkiksi Maata matalalla radalla (noin 400 km korkeudella) kiertävän satelliitin nopeus on noin 7,7 km/s. Mitä lähempänä kappale kiertää, sitä suurempi nopeus tarvitaan, koska vetovoima on voimakkaampi.
Mistä ratasäde mitataan?
Ratasäde r mitataan keskuskappaleen keskipisteestä, ei pinnasta. Esimerkiksi 400 km korkeudella Maan pinnasta kiertävän satelliitin ratasäde on Maan säde (noin 6371 km) plus 400 km eli noin 6771 km. Tämä on tärkeä huomata: jos käyttää korkeutta pinnasta säteen sijaan, kiertoaika tulee virheelliseksi. Tämä laskuri olettaa annetun arvon olevan säde keskipisteestä.
Mikä on geostationaarinen rata?
Geostationaarisella radalla satelliitin kiertoaika on yhtä pitkä kuin Maan pyörähdysaika (noin 23 h 56 min eli tähtivuorokausi), jolloin se pysyy maasta katsoen paikallaan. Tämä toteutuu noin 42 164 km ratasäteellä eli noin 35 786 km korkeudella päiväntasaajan yläpuolella. Tällaisia ratoja käytetään esimerkiksi sää- ja viestintäsatelliiteille, koska antennia ei tarvitse kääntää satelliitin perässä.
Miten kaava liittyy Keplerin kolmanteen lakiin?
Keplerin kolmas laki sanoo, että kiertoajan neliö on verrannollinen radan isoakselin puolikkaan kuutioon: T² ∝ r³. Tämä näkyy suoraan kaavasta T = 2π·√(r³/GM), kun molemmat puolet korotetaan toiseen: T² = 4π²·r³ / (G·M). Verrannollisuuskerroin 4π²/(GM) riippuu vain keskuskappaleen massasta, joten saman kappaleen kaikki radat noudattavat samaa suhdetta.
Oliko tästä laskurista apua?